Fração irredutível
Content
Exemplos
120 90 = 12 9 = 4 3 {\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}}
Na primeira etapa, ambos os números foram divididos por 10, o que é um fator comum para 120 e 90. Na segunda etapa, eles foram divididos por 3. O resultado final, 4/3, é uma fração irredutível porque 4 e 3 têm Não há fatores comuns além de 1.
A fração original também poderia ter sido reduzida em uma única etapa usando o maior divisor comum de 90 e 120, que é 30. Como 120 ÷ 30 = 4 e 90 ÷ 30 = 3, um recebe
120 90 = 4 3 {\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {4}{3}}}
Qual método é mais rápido "manualmente" depende da fração e da facilidade com que fatores comuns são identificados. Caso um denominador e numerador permaneçam grandes demais para garantir que sejam coprimidos pela inspeção, é necessário um maior cálculo de divisor comum para garantir que a fração seja realmente irredutível.
Singularidade
Todo número racional tem uma representação única como uma fração irredutível com um denominador positivo (no entanto, 2/3 = −2/−3, embora ambos sejam irredutíveis). A singularidade é uma conseqüência da fatoração privilegiada única dos números inteiros, uma vez que a/b = c/d implica ad = bc e, portanto, ambos os lados deste último devem compartilhar a mesma fatoração primitiva, mas A e B não compartilham fatores primos para que o conjunto de fatores primos de A (com multiplicidade) é um subconjunto dos de C e vice -versa, significando A = C e pelo mesmo argumento B = D.
Formulários
O fato de qualquer número racional ter uma representação única como uma fração irredutível é utilizada em várias provas da irracionalidade da raiz quadrada de 2 e de outros números irracionais. Por exemplo, uma prova observa que, se √2 pudesse ser representado como uma proporção de números inteiros, isso teria, em particular, a representação totalmente reduzida A/B, onde A e B são o menor possível; Mas, dado que A/B é igual a √2, o mesmo acontece com 2b-a/a-b (já que multiplicará isso com A/B mostra que eles são iguais). Como A> B (porque √2 é maior que 1), o último é uma proporção de dois números inteiros menores. Isso é uma contradição, então a premissa de que a raiz quadrada de dois tem uma representação, pois a proporção de dois números inteiros é falsa.
Generalização
A noção de fração irredutível generaliza para o campo de frações de qualquer domínio de fatoração exclusivo: qualquer elemento desse campo pode ser escrito como uma fração na qual o denominador e o numerador são coprime, dividindo ambos por seu maior divisor comum. Isso se aplica principalmente a expressões racionais em um campo. A fração irredutível para um determinado elemento é única até a multiplicação de denominador e numerador pelo mesmo elemento invertível. No caso dos números racionais, isso significa que qualquer número possui duas frações irredutíveis, relacionadas por uma mudança de sinal de numerador e denominador; Essa ambiguidade pode ser removida exigindo que o denominador seja positivo. No caso de funções racionais, o denominador poderia igualmente ser um polinômio monico.