Lema de Zorn

Motivação

Para provar a existência de um objeto matemático que pode ser visto como um elemento máximo em algum conjunto parcialmente ordenado de alguma forma, pode -se tentar provar a existência de tal objeto, assumindo que não há elemento máximo e usando a indução transfinita e as suposições de a situação para obter uma contradição. O lema de Zorn cria as condições que uma situação precisa satisfazer para que esse argumento funcione e permita que os matemáticos não precisem repetir o argumento de indução transfinita à mão a cada vez, mas basta verificar as condições do lema de Zorn.

Se você está construindo um objeto matemático em etapas e descobre que (i) você não terminou mesmo depois de infinitamente muitas etapas e (ii) parece não haver nada para impedir que você continue a construir, o lema de Zorn pode ser capaz de ajudar vocês.

Declaração do Lema

Noções preliminares:

A set P equipped with a binary relation ≤ that is reflexive, antisymmetric and transitive is said to be (partially) ordered by ≤. Given two elements x and y of P with x ≤ y, y is said to be greater than or equal to x. The word "partial" is meant to indicate that not every pair of elements of a partially ordered set is required to be comparable under the order relation, that is, in a partially ordered set P with order relation ≤ there may be elements x and y with neither x ≤ y nor y ≤ x. An ordered set in which every pair of elements is comparable is called totally ordered.Every subset S of a partially ordered set P can itself be seen as partially ordered by restricting the order relation inherited from P to S. A subset S of a partially ordered set P is called a chain (in P) if it is totally ordered in the inherited order.An element m of a partially ordered set P with order relation ≤ is maximal (with respect to ≤) if there is no other element of P greater than m, that is, if there is no s in P with s ≠ m and m ≤ s. Depending on the order relation, a partially ordered set may have any number of maximal elements. However, a totally ordered set can have at most one maximal element.Given a subset S of a partially ordered set P, an element u of P is an upper bound of S if it is greater than or equal to every element of S. Here, S is not required to be a chain, and u is required to be comparable to every element of S but need not itself be an element of S.

O lema de Zorn pode ser declarado como:

Às vezes, são usadas variantes dessa formulação, como exigir que o conjunto P e as cadeias não estejam vazios.

Embora essa formulação pareça ser formalmente mais fraca (uma vez que coloca em p a condição adicional de não ser vazio, mas obtém a mesma conclusão sobre P), de fato, as duas formulações são equivalentes. Para verificar isso, suponha primeiro que P satisfaz a condição de que toda cadeia em P tenha um limite superior em P. Então o subconjunto vazio de P é uma cadeia, pois satisfaz a definição com vaidade; Portanto, a hipótese implica que esse subconjunto deve ter um limite superior em P, e esse limite superior mostra que P é de fato não vazio. Por outro lado, se P é considerado não vazio e satisfaz a hipótese de que toda cadeia não vazia tem um limite superior em p, P também satisfaz a condição de que toda cadeia tenha um limite superior, como um elemento arbitrário de P serve como como Um limite superior para a corrente vazia (ou seja, o subconjunto vazio visto como uma corrente).

A diferença pode parecer sutil, mas em muitas provas que invocam o lema de Zorn, tomam algum tipo de sindicatos para produzir um limite superior e, portanto, o caso da cadeia vazia pode ser negligenciada; Ou seja, a verificação de que todas as cadeias têm limites superiores podem ter que lidar com cadeias vazias e não vazias separadamente. Muitos autores preferem verificar a não vazação do conjunto P em vez de lidar com a cadeia vazia no argumento geral.

Exemplo de aplicativo

O lema de Zorn pode ser usado para mostrar que todo anel não trivial R com unidade contém um ideal máximo.

Seja p o conjunto que consiste em todos os ideais (bilaterais) em R, exceto R. O R ideal foi excluído porque os ideais máximos por definição não são iguais a R. Como R não é trivial, o conjunto P contém o ideal trivial {0} e, portanto, P não está vazio. Além disso, P é parcialmente ordenado por inclusão de conjunto (consulte a ordem de inclusão). Encontrar um ideal máximo em r é o mesmo que encontrar um elemento máximo em P.

Para aplicar o lema de Zorn, pegue uma cadeia t em P (ou seja, t é um subconjunto de P que é totalmente ordenado). Se t é o conjunto vazio, o ideal trivial {0} é um limite superior para t em P. assume que T não está vazio. É necessário mostrar que T tem um limite superior, ou seja, existe um ideal que é maior que todos os membros de T, mas ainda menor que R (caso contrário, não estaria em P). Tomei eu ser a união de todos os ideais em T. Desejamos mostrar que eu é um limite superior para t em P., primeiro mostraremos que eu é um ideal de r e, em seguida, é um ideal adequado de r E o mesmo acontece com um elemento de P. Como todos os elementos de t estão contidos em I, isso mostrará que eu é um limite superior para t em P, conforme necessário.

Como T contém pelo menos um elemento e esse elemento contém pelo menos 0, a união I contém pelo menos 0 e não está vazia. Para provar que eu é um ideal, observe que, se A e B são elementos de I, existem dois ideais j, k ∈ T tal que a é um elemento de J e B é um elemento de K. Como T é totalmente ordenado , Sabemos que J ⊆ K ou K ⊆ J. No primeiro caso, A e B são membros do K ideal, portanto, sua soma a + b é um membro de K, que mostra que A + B é um membro de I. No segundo caso, A e B são membros do J ideal e, portanto, a + b ∈ I. Além disso, se r ∈ R, então AR e RA são elementos de J e, portanto, elementos de I. Assim, i i é um ideal em R.

Agora, um ideal é igual a r se e somente se ele contiver 1. (ficará claro que, se for igual a r, deve conter 1; por outro lado, se contiver 1 e r é um elemento arbitrário de R, então r1 = r é um elemento do ideal e, portanto, o ideal é igual a R.) Então, se eu fosse igual a r, então ele conteria 1, e isso significa que um dos membros de t conteria 1 e, portanto, seria igual a r - mas r é explicitamente excluído de P.

A hipótese do lema de Zorn foi verificada e, portanto, há um elemento máximo em P, em outras palavras, um ideal máximo em R.

A prova depende do fato de que o anel r possui uma unidade multiplicativa 1. Sem isso, a prova não funcionaria e, de fato, a afirmação seria falsa. Por exemplo, o anel com q {\ displayStyle \ mathbb {q}} como grupo aditivo e multiplicação trivial (ou seja, a b = 0 {\ displaystyle ab = 0} para todos a, b {\ displaystyle a, b}) não tem máximo Ideal (e, claro, nº 1): seus ideais são precisamente os subgrupos aditivos. O grupo fatorial q / a {\ displayStyle \ mathbb {q} / a} por um subgrupo adequado a {\ displayStyle a} é um grupo divisível, portanto, certamente não é finitamente gerado, portanto, tem um subgrupo não trivial adequado, que dá origem a um subgrupo e ideal contendo um {\ displayStyle A}.

Esboço à prova

Um esboço da prova do lema de Zorn segue, assumindo o axioma da escolha. Suponha que o lema seja falso. Então, existe um conjunto parcialmente ordenado, ou POT, P, de modo que todo subconjunto totalmente ordenado tenha um limite superior e que para cada elemento em P exista outro elemento maior que ele. Para cada subconjunto totalmente ordenado, podemos definir um elemento maior B (t), porque T tem um limite superior e esse limite superior tem um elemento maior. Para definir a função B, precisamos empregar o axioma da escolha.

Usando a função b, vamos definir elementos a0

A IA é definida por recursão transfinita: escolhemos A0 em P arbitrário (isso é possível, pois P contém um limite superior para o conjunto vazio e, portanto, não está vazio) e, para qualquer outro ordinal, nós definimos aw = b ({av: v

Esta prova mostra que, na verdade, uma versão um pouco mais forte do lema de Zorn é verdadeira:

História

O princípio máximo de Hausdorff é uma declaração inicial semelhante ao lema de Zorn.

Kazimierz Kuratowski provou em 1922 uma versão do lema próxima à sua formulação moderna (aplica-se a conjuntos ordenados pela inclusão e fechados sob sindicatos de cadeias bem ordenadas). Essencialmente, a mesma formulação (enfraquecida usando cadeias arbitrárias, não apenas bem ordenadas) foi dada independentemente por Max Zorn em 1935, que o propôs como um novo axioma da teoria dos conjuntos que substitui o teorema bem-ordenado, exibiu algumas de suas aplicações em álgebra , e prometeu mostrar sua equivalência com o axioma da escolha em outro artigo, que nunca apareceu.

O nome "Lema de Zorn" parece ser devido a John Tukey, que o usou em seu livro Convergência e uniformidade em topologia em 1940. Théorie des Ensembles de 1940 de Bourbaki, de 1939, refere -se a um princípio máximo semelhante como "Le Théorème de Zorn". O nome "Kuratowski -Zorn Lemma" prevalece na Polônia e na Rússia.

Formas equivalentes do lema de Zorn

O lema de Zorn é equivalente (em ZF) a três resultados principais:

Hausdorff maximal principleAxiom of choiceWell-ordering theorem.

Uma piada bem conhecida que alude a essa equivalência (que pode desafiar a intuição humana) é atribuída a Jerry Bona: "O axioma da escolha é obviamente verdadeiro, o princípio bem-sucedido obviamente falsa e quem pode contar sobre o lema de Zorn?"

O lema de Zorn também é equivalente ao forte teorema da integridade da lógica de primeira ordem.

Além disso, o lema de Zorn (ou uma de suas formas equivalentes) implica alguns resultados importantes em outras áreas matemáticas. Por exemplo,

Banach's extension theorem which is used to prove one of the most fundamental results in functional analysis, the Hahn–Banach theoremEvery vector space has a basis, a result from linear algebra (to which it is equivalent ). In particular, the real numbers, as a vector space over the rational numbers, possess a Hamel basis.Every commutative unital ring has a maximal ideal, a result from ring theory known as Krull's theorem, to which Zorn's lemma is equivalentTychonoff's theorem in topology (to which it is also equivalent )Every proper filter is contained in an ultrafilter, a result that yields completeness theorem of first-order logic

Nesse sentido, vemos como o lema de Zorn pode ser visto como uma ferramenta poderosa, aplicável a muitas áreas da matemática.

Análogos sob enfraquecimentos do axioma da escolha

Uma forma enfraquecida do lema de Zorn pode ser comprovada na teoria do conjunto de ZF + DC (Zermelo -Fraenkel com o axioma da escolha substituído pelo axioma da escolha dependente). O lema de Zorn pode ser expresso de maneira direta, observando que o conjunto sem elemento máximo seria equivalente a afirmar que a relação de ordem do conjunto seria inteira, o que nos permitiria aplicar o axioma da escolha dependente para construir uma cadeia contável. Como resultado, qualquer conjunto parcialmente ordenado com cadeias exclusivamente finitas deve ter um elemento máximo.

De maneira mais geral, o fortalecimento do axioma da escolha dependente para ordinais mais altos nos permite generalizar a declaração no parágrafo anterior para cardinalidades mais altas. No limite em que permitimos arbitrariamente grandes ordinais, recuperamos a prova do lema de Zorn completo usando o axioma da escolha na seção anterior.

Na cultura popular

O filme de 1970, Zorns Lemma, recebeu o nome do lema.

O lema foi referenciado nos Simpsons no episódio "Bart's New Friend".

Veja também

Antichain – Subset of incomparable elementsBourbaki–Witt theoremChain-complete partial order – a partially ordered set in which every chain has a least upper boundSzpilrajn extension theorem – Mathematical result on order relationsTarski finitenessTeichmüller–Tukey lemma (sometimes named Tukey's lemma)