Número selvagem

O problema do número selvagem

No romance The Wild Numbers, o problema do número selvagem é formulado da seguinte forma:

Beauregard had defined a number of deceptively simple operations, which, when applied to a whole number, at first resulted in fractions. But if the same steps were repeated often enough, the eventual outcome was once again a whole number. Or, as Beauregard cheerfully observed: “In all numbers lurks a wild number, guaranteed to emerge when you provoke them long enough” . 0 yielded the wild number 11, 1 brought forth 67, 2 itself, 3 suddenly manifested itself as 4769, 4, surprisingly, brought forth 67 again. Beauregard himself had found fifty different wild numbers. The money prize was now awarded to whoever found a new one.

Mas não foi especificado o que são essas "operações enganosamente simples". Consequentemente, não há como saber como esses números 11, 67, etc. foram obtidos e nenhuma maneira de encontrar qual seria o próximo número selvagem.

História do problema do número selvagem

O romance The Wild Numbers construiu uma história fictícia para o problema do número selvagem. Os marcos importantes nesta história podem ser resumidos da seguinte forma.

DateEvent1823Anatole Millechamps de Beauregard poses the Wild Number Problem in its original form.1830sThe problem is generalised: How many wild numbers are there? Are there infinitely many wild numbers? It was conjectured that all numbers are wild.1907Heinrich Riedel disproves the conjecture by showing that 3 is not a wild number. Later he also proves that there are infinitely many non-wild numbers.Early 1960sDimitri Arkanov sparks renewed interest in the almost forgotten problem by discovering a fundamental relationship between wild numbers and prime numbers.The presentIsaac Swift finds a solution.

Números selvagens reais

Em matemática, o semigrupo multiplicativo, denotado por W0, gerado pelo conjunto {3 n + 2 2 n + 1: n ≥ 0} {\ displayStyle \ left \ {{\ frac {3n + 2} {2n + 1}} : n \ geq 0 \ right \}} é chamado de semigrupo Wooley em homenagem ao matemático americano Trevor D. Wooley. O semigrupo multiplicativo, indicado por w, gerado pelo conjunto {1 2} ∪ {3 n + 2 2 n + 1: n ≥ 0} {\ displayStyle \ esquerda \ {{\ frac {1} {2}} \ \} \ cup \ esquerda \ {{\ frac {3n+2} {2n+1}}: n \ geq 0 \ direita \}} é chamado de semigrupo selvagem. O conjunto de números inteiros no W0 é um semigrupo multiplicativo. É chamado de semigrupo inteiro de Wooley e os membros deste semigrupo são chamados de Inteiros Wooley. Da mesma forma, o conjunto de números inteiros em W é um semigrupo multiplicativo. É chamado de semigrupo inteiro selvagem e os membros deste semigrupo são chamados de números selvagens.

Os números selvagens em OEIS

A enciclopédia on-line de sequências inteiras (OEIS) tem uma entrada com o número de identificação A058883 relacionado aos números selvagens. Segundo OEIS, "aparentemente estes são completamente fictícios e não há explicação matemática". No entanto, o OEIS possui algumas entradas relacionadas a números de pseudo-wild, carregando explicações matemáticas bem definidas.

Sequências de números de pseudo-wild

Embora a sequência de números selvagens seja inteiramente fictícia, vários matemáticos tentaram encontrar regras que gerariam a sequência dos números selvagens fictícios. Todas essas tentativas resultaram em falhas. No entanto, no processo, foram criadas certas novas sequências de números inteiros com comportamento selvagem e irregular semelhante. Essas seqüências bem definidas são chamadas de sequências de números de pseudo-wild. Um bom exemplo disso é o descoberto pelo piso matemático holandês Van Lamoen. Esta sequência é definida da seguinte maneira:

For a rational number p/q let f ( p / q ) = p q sum of digits of p and q {\displaystyle f(p/q)={\frac {pq}{{\text{ sum of digits of }}p{\text{ and }}q}}} .For a positive integer n, the n-th pseudo-wild number is the number obtained by iterating f, starting at n/1, until an integer is reached, and if no integer is reached the pseudo-wild number is 0.For example, taking n=2, we have 2 1 , 2 3 , 6 5 , 30 11 , 66 {\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {2}{3}},{\frac {6}{5}},{\frac {30}{11}},66} and so the second pseudo-wild number is 66. The first few pseudo-wild numbers are66, 66, 462, 180, 66, 31395, 714, 72, 9, 5.