Proporção zener
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Materiais cúbicos
Os materiais cúbicos são materiais ortotrópicos especiais que são invariantes em relação a rotações de 90 ° em relação aos eixos principais, isto é, o material é o mesmo ao longo de seus eixos principais. Devido a essas simetrias adicionais, o tensor de rigidez pode ser escrito com apenas três propriedades materiais diferentes, como
C _ _ = [ C 11 C 12 C 12 0 0 0 C 12 C 11 C 12 0 0 0 C 12 C 12 C 11 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 ] . {\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}\quad .}
O inverso desta matriz é comumente escrito como
S _ _ = [ 1 E − ν E − ν E 0 0 0 − ν E 1 E − ν E 0 0 0 − ν E − ν E 1 E 0 0 0 0 0 0 1 G 0 0 0 0 0 0 1 G 0 0 0 0 0 0 1 G ] . {\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}\\\end{bmatrix}}\quad .}
onde e {\ displaystyle {e} \,} é o módulo de Young, g {\ displayStyle g \,} é o módulo de cisalhamento e ν {\ displaystyle \ nu \,} é a razão de Poisson. Portanto, podemos pensar na proporção como a relação entre o módulo de cisalhamento para o material cúbico e seu equivalente (isotrópico):
a r = g e / [2 (1 + ν)] = 2 (1 + ν) g e ≡ 2 c 44 c 11 - c 12. {\ displayStyle a_ {r} = {\ frac {g} {e/[2 (1+ \ nu)]}} = {\ frac {2 (1+ \ nu) g} {e}} \ equiv {\ frac {2c_ {44}} {c_ {11} -c_ {12}}}.}
Índice de anisotropia elástica universal
A relação Zener é aplicável apenas a cristais cúbicos. Para superar essa limitação, um 'índice de anisotropia elástico universal (Au)' foi formulado a partir de princípios variacionais de elasticidade e álgebra tensorial. A UA agora é usada para quantificar a anisotropia de cristais elásticos de todas as classes.
Índice de Anisotropia Tensorial
O índice de anisotropia tensorial estende a proporção de zener para materiais totalmente anisotrópicos e supera a limitação da UA projetada para materiais que exibem simetrias internas de cristais elásticos, que nem sempre são observados em compósitos de vários componentes. Leva em consideração todos os 21 coeficientes do tensor de rigidez totalmente anisotrópico e cobre as diferenças direcionais entre os grupos tensores de rigidez.
É composto por duas partes principais a i {\ displayStyle A^{i}} e a a {\ displaystyle a^{a}}, o primeiro se refere a componentes existentes em tensor cúbico e o último em tensor anisotrópico, de modo que a t = a i + A. {\ displayStyle a^{t} = a^{i}+a^{a}.} Este primeiro componente inclui a relação zener modificada e, adicionalmente, explica as diferenças direcionais no material, que existem no material ortotrópico, por exemplo. O segundo componente deste índice a a {\ displayStyle A^{a}} cobre a influência dos coeficientes de rigidez que são diferentes de zero apenas para materiais não cúbicos e permanece zero.
A i = a i, z + a i, c o v = 2 (c 44 + c 55 + c 66) (c 11 + c 22 + c 33) - (c 12 + c 13 + c 23) + ∑ i = 1 3 α ( C g i), {\ displayStyle a^{i} = a^{i, z}+a^{i, cov} = {\ frac {2 (c_ {44}+c_ {55}+c_ {66}) } {(C_ {11}+c_ {22}+c_ {33})-(c_ {12}+c_ {13}+c_ {23})}}+\ sum _ {i = 1} {3} {\ alpha (c_ {gi})},}
onde α (c g i) {\ displaystyle \ alpha (c_ {gi})} é o coeficiente de variação para cada grupo de rigidez, contabilizando diferenças direcionais de rigidez do material, isto é, c g 1 = [c 11, c 22, c 33], C G 2 = [C 44, C 55, C 66], C G 3 = [C 12, C 23, C 13]. {\ displayStyle c_ {g1} = [c_ {11}, c_ {22}, c_ {33}], c_ {g2} = [c_ {44}, c_ {55}, c_ {66}], c_ {g3 } = [C_ {12}, c_ {23}, c_ {13}].} Em materiais cúbicos, cada componente de rigidez nos grupos 1-3 tem valor igual e, portanto, essa expressão reduz diretamente para a razão zener para materiais cúbicos.
O segundo componente deste índice a a {\ displaystyle a^{a}} é diferente de materiais ou compósitos complexos com apenas poucas ou nenhuma simetria em sua estrutura interna. Nesses casos, os coeficientes de rigidez restantes unidos em três grupos não são nulos C g 4 = [C 34, C 45, C 56], C g 5 = [C 14, C 25, C 36], C G 6 = [C 34, C 45, c 56]. {\ displayStyle c_ {g4} = [c_ {34}, c_ {45}, c_ {56}], c_ {g5} = [c_ {14}, c_ {25}, c_ {36}], c_ {g6} } = [C_ {34}, c_ {45}, c_ {56}].}