Srinivasa Ramanujan

Vida pregressa

Ramanujan (literalmente, "irmão mais novo de Rama", uma divindade hindu) nasceu em 22 de dezembro de 1887 em uma família Brahmin Iyengar tâmil em Erode, Mysore Kingdom (agora Tamil Nadu, Índia), na residência de seus avós maternos. Seu pai, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, originalmente do distrito de Thanjavur, trabalhava como balconista em uma loja de sari. Sua mãe, Komalatammal, era dona de casa e cantou em um templo local. Eles moravam em uma pequena casa tradicional na rua Sanangapani Sannidhi, na cidade de Kumbakonam. A casa da família agora é um museu. Quando Ramanujan tinha um ano e meio de idade, sua mãe deu à luz um filho, Sadagopan, que morreu menos de três meses depois. Em dezembro de 1889, Ramanujan contratou a varíola, mas se recuperou, ao contrário dos 4.000 outros que morreram em um ano ruim no distrito de Thanjavur nessa época. Ele se mudou com a mãe para a casa dos pais em Kanchipuram, perto de Madras (agora Chennai). Sua mãe deu à luz mais dois filhos, em 1891 e 1894, os quais morreram antes dos primeiros aniversários.

Em 1 de outubro de 1892, Ramanujan foi matriculado na escola local. Depois que seu avô materno perdeu o emprego como funcionário do tribunal em Kanchipuram, Ramanujan e sua mãe voltaram para Kumbakonam, e ele foi matriculado na Escola Primária Kangayan. Quando seu avô paterno morreu, ele foi enviado de volta aos seus avós maternos e depois morando em Madras. Ele não gostava da escola em Madras e tentou evitar participar. Sua família recrutou um policial local para garantir que ele frequentasse a escola. Dentro de seis meses, Ramanujan estava de volta a Kumbakonam.

Como o pai de Ramanujan estava no trabalho a maior parte do dia, sua mãe cuidava do garoto e eles tinham um relacionamento próximo. Com ela, ele aprendeu sobre tradição e puranas, cantar canções religiosas, frequentar pujas no templo e manter hábitos alimentares específicos - tudo parte da cultura brâmane. Na Escola Primária Kangayan, Ramanujan teve um bom desempenho. Pouco antes de completar 10 anos, em novembro de 1897, ele passou seus exames primários em inglês, tâmil, geografia e aritmética com as melhores pontuações do distrito. Naquele ano, Ramanujan entrou na escola secundária da cidade, onde encontrou matemática formal pela primeira vez.

Um prodígio infantil aos 11 anos, ele havia esgotado o conhecimento matemático de dois estudantes universitários que eram inquilinos em sua casa. Mais tarde, ele foi emprestado um livro escrito por S. L. Loney sobre trigonometria avançada. Ele dominou isso aos 13 anos, enquanto descobriu teoremas sofisticados por conta própria. Aos 14 anos, ele recebeu certificados de mérito e prêmios acadêmicos que continuaram ao longo de sua carreira escolar e ajudou a escola na logística de atribuir seus 1.200 alunos (cada um com diferentes necessidades) aos seus aproximadamente 35 professores. Ele completou os exames matemáticos pela metade do tempo previsto e mostrou uma familiaridade com a geometria e a série infinita. Ramanujan foi mostrado como resolver equações cúbicas em 1902; Ele desenvolveu seu próprio método para resolver o quartico. No ano seguinte, ele tentou resolver o quíntico, sem saber que não pôde ser resolvido por radicais.

Em 1903, quando ele tinha 16 anos, Ramanujan obteve de um amigo uma cópia da biblioteca de uma sinopse de resultados elementares em matemática pura e aplicada, a coleção de 5.000 teoremas de G. S. Carr. Ramanujan teria estudado o conteúdo do livro em detalhes. O livro é geralmente reconhecido como um elemento -chave para despertar seu gênio. No ano seguinte, Ramanujan desenvolveu e investigou independentemente os números de Bernoulli e calculou a constante de Euler -Mascheroni até 15 casas decimais. Seus colegas na época disseram que "raramente o entendiam" e "ficaram em respeitosa reverência" dele.

Quando se formou na Escola Secundária Superior da cidade em 1904, Ramanujan recebeu o Prêmio K. Ranganatha Rao por matemática pelo diretor da escola, Krishnaswami Iyer. Iyer apresentou Ramanujan como um aluno destacado que merecia pontuações mais alto que o máximo. Ele recebeu uma bolsa de estudos para estudar no Government Arts College, Kumbakonam, mas estava tão com a intenção de matemática que não conseguiu se concentrar em nenhum outro assunto e falhou na maioria deles, perdendo sua bolsa de estudos no processo. Em agosto de 1905, Ramanujan fugiu de casa, indo em direção a Visakhapatnam, e ficou em Rajahmundry por cerca de um mês. Mais tarde, ele se matriculou no College de Pachaiyappa em Madras. Lá, ele passou em matemática, optando apenas para tentar perguntas que o atraíram e deixando o restante sem resposta, mas teve um desempenho ruim em outros assuntos, como inglês, fisiologia e sânscrito. Ramanujan falhou em seu exame de artes em dezembro de 1906 e novamente um ano depois. Sem um diploma de FA, ele deixou a faculdade e continuou a fazer pesquisas independentes em matemática, vivendo em extrema pobreza e frequentemente à beira da fome.

Em 1910, após uma reunião entre Ramanujan, de 23 anos, e o fundador da Sociedade Matemática Indiana, V. Ramaswamy Aiyer, Ramanujan começou a receber reconhecimento nos círculos matemáticos de Madras, levando à sua inclusão como pesquisador na Universidade de Madras .

Adulta na Índia

Em 14 de julho de 1909, Ramanujan casou -se com Janaki (Janakiammal; 21 de março de 1899 - 13 de abril de 1994), uma garota que sua mãe havia selecionado para ele um ano antes e que tinha dez anos quando se casaram. Não era incomum então que os casamentos fossem organizados com meninas em tenra idade. Janaki era de Rajendram, uma vila próxima à estação ferroviária de Marudur (distrito de Karur). O pai de Ramanujan não participou da cerimônia de casamento. Como era comum na época, Janaki continuou a permanecer em sua casa materna por três anos após o casamento, até chegar à puberdade. Em 1912, ela e a mãe de Ramanujan se juntaram a Ramanujan em Madras.

Após o casamento, Ramanujan desenvolveu um Hydrocele testis. A condição pode ser tratada com uma operação cirúrgica de rotina que liberaria o fluido bloqueado no saco escrotal, mas sua família não podia pagar a operação. Em janeiro de 1910, um médico se ofereceu para fazer a cirurgia sem nenhum custo.

Após sua cirurgia bem -sucedida, Ramanujan procurou um emprego. Ele ficou na casa de um amigo enquanto passava de porta em porta em torno de Madras procurando uma posição de escritório. Para ganhar dinheiro, ele ensinou os alunos do Presidency College que estavam se preparando para o exame de artes.

No final de 1910, Ramanujan estava doente novamente. Ele temia por sua saúde e disse a seu amigo R. Radakrishna Iyer para "entregar seus cadernos ao professor Singavelu Mudaliar [professor de matemática no College de Pachaiyappa] ou ao professor britânico Edward B. Ross, do Madras Christian College. " Depois que Ramanujan recuperou e recuperou seus cadernos de Iyer, ele pegou um trem de Kumbakonam para Villupuram, uma cidade sob controle francês. Em 1912, Ramanujan se mudou com sua esposa e mãe para uma casa na rua Saiva Muthaiah Mudali, George Town, Madras, onde moravam por alguns meses. Em maio de 1913, ao garantir uma posição de pesquisa na Universidade de Madras, Ramanujan mudou -se com sua família para Triplicane.

Busca pela carreira em matemática

Em 1910, Ramanujan conheceu o vice -coletor V. Ramaswamy Aiyer, que fundou a Sociedade Matemática Indiana. Desejando um emprego no departamento de receita onde Aiyer trabalhava, Ramanujan mostrou -lhe seus cadernos de matemática. Como Aiyer lembrou mais tarde:

Fiquei impressionado com os extraordinários resultados matemáticos contidos nos [notebooks]. Eu não tive a mente de sufocar seu gênio por uma nomeação nos degraus mais baixos do departamento de receita.

Aiyer enviou Ramanujan, com cartas de introdução, a seus amigos matemáticos em Madras. Alguns deles analisaram seu trabalho e deram a ele cartas de introdução a R. Ramachandra Rao, o coletor do distrito de Nelore e o secretário da Sociedade Matemática Indiana. Rao ficou impressionado com a pesquisa de Ramanujan, mas duvidava que fosse seu próprio trabalho. Ramanujan mencionou uma correspondência que teve com o professor Saldhana, um notável matemático de Bombaim, no qual Saldhana expressou uma falta de entendimento de seu trabalho, mas concluiu que ele não era uma fraude. O amigo de Ramanujan, C. V. Rajagopalachari, tentou reprimir as dúvidas de Rao sobre a integridade acadêmica de Ramanujan. Rao concordou em dar a ele outra chance, e ouviu Ramanujan discutir integrais elípticos, série hipergeométrica e sua teoria da série divergente, que Rao disse que o convenceu do brilho de Ramanujan. Quando Rao perguntou o que queria, Ramanujan respondeu que precisava de trabalho e apoio financeiro. Rao consentiu e o enviou para Madras. Ele continuou sua pesquisa com a ajuda financeira de Rao. Com a ajuda de Aiyer, Ramanujan teve seu trabalho publicado no Journal of the Indian Mathematics Society.

Um dos primeiros problemas que ele colocou no diário foi encontrar o valor de:

1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ . {\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}

Ele esperou que uma solução fosse oferecida em três edições, durante seis meses, mas não recebeu nenhum. No final, Ramanujan forneceu uma solução incompleta ao próprio problema. Na página 105 de seu primeiro caderno, ele formulou uma equação que poderia ser usada para resolver o problema dos radicais infinitamente aninhados.

x + n + a = a x + ( n + a ) 2 + x a ( x + n ) + ( n + a ) 2 + ( x + n ) ⋯ {\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\cdots }}}}}}}

Usando essa equação, a resposta para a pergunta colocada na revista foi simplesmente 3, obtida pelo cenário x = 2, n = 1 e a = 0. Ramanujan escreveu seu primeiro artigo formal para o Journal on the Properties of Bernoulli. Uma propriedade que ele descobriu foi que os denominadores (sequência A027642 nos OEIS) das frações dos números de Bernoulli são sempre divisíveis por seis. Ele também desenvolveu um método de calcular o BN com base nos números anteriores de Bernoulli. Um desses métodos a seguir:

Será observado que se n for mesmo, mas não é igual a zero,

Bn is a fraction and the numerator of Bn/n in its lowest terms is a prime number,the denominator of Bn contains each of the factors 2 and 3 once and only once,2n(2n − 1)Bn/n is an integer and 2(2n − 1)Bn consequently is an odd integer.

Em seu artigo de 17 páginas "algumas propriedades dos números de Bernoulli" (1911), Ramanujan deu três provas, dois corolários e três conjecturas. Sua escrita inicialmente tinha muitas falhas. Como observou o editor de periódicos M. T. Narayana Iyengar:

Os métodos do Sr. Ramanujan eram tão conciso e romances e sua apresentação tão faltando de clareza e precisão, que o [leitor matemático] comum, desacostumado a essa ginástica intelectual, dificilmente o seguia.

Mais tarde, Ramanujan escreveu outro artigo e também continuou a fornecer problemas na revista. No início de 1912, ele conseguiu um emprego temporário no escritório do contador de Madras, com um salário mensal de 20 rúpias. Ele durou apenas algumas semanas. No final dessa tarefa, ele solicitou uma posição sob o contador -chefe do Madras Port Trust.

Em uma carta datada de 9 de fevereiro de 1912, Ramanujan escreveu:

Senhor, eu entendo que há um balcário vago em seu escritório e imploro para me candidatar ao mesmo. Passei no exame de matrícula e estudei até o F.A., mas fui impedido de perseguir meus estudos, devido a várias circunstâncias desagradáveis. No entanto, tenho dedicado todo o meu tempo à matemática e desenvolvendo o assunto. Posso dizer que estou bastante confiante de que posso fazer justiça ao meu trabalho se for nomeado para o post. Por isso, imploro para solicitar que você seja bom o suficiente para conferir a nomeação para mim.

Em anexo à sua aplicação, havia uma recomendação de E. W. Middlemast, professor de matemática do Presidency College, que escreveu que Ramanujan era "um jovem de capacidade bastante excepcional em matemática". Três semanas depois de se inscrever, em 1 de março, Ramanujan soube que havia sido aceito como um balconista de contabilidade de classe III, grau IV, fazendo 30 rúpias por mês. Em seu escritório, Ramanujan completou facilmente e rapidamente o trabalho que recebeu e passou seu tempo livre fazendo pesquisas matemáticas. O chefe de Ramanujan, Sir Francis Spring, e S. Narayana Iyer, um colega que também era tesoureiro da Sociedade Matemática Indiana, incentivou Ramanujan em suas atividades matemáticas. [Citação necessária]

Entrando em contato com os matemáticos britânicos

Na primavera de 1913, Narayana Iyer, Ramachandra Rao e E. W. Middlemasast tentaram apresentar o trabalho de Ramanujan aos matemáticos britânicos. M. J. M. Hill of University College London comentou que os documentos de Ramanujan estavam cheios de buracos. Ele disse que, embora Ramanujan tivesse "um gosto pela matemática e alguma habilidade", ele não tinha a formação educacional e a base necessárias a serem aceitas pelos matemáticos. Embora Hill não tenha se oferecido para levar Ramanujan como estudante, ele deu conselhos profissionais completos e sérios sobre seu trabalho. Com a ajuda de amigos, Ramanujan convocou cartas para os principais matemáticos da Universidade de Cambridge.

Os dois primeiros professores, H. F. Baker e E. W. Hobson, devolveram os documentos de Ramanujan sem comentários. Em 16 de janeiro de 1913, Ramanujan escreveu para G. H. Hardy. Vindo de um matemático desconhecido, as nove páginas da matemática fizeram Hardy inicialmente ver os manuscritos de Ramanujan como uma possível fraude. Hardy reconheceu algumas das fórmulas de Ramanujan, mas outras "pareciam mal possíveis de acreditar". Um dos teoremas Hardy encontrado incrível estava na parte inferior da página três (válida para 0

∫ 0 ∞ 1 + x 2 ( b + 1 ) 2 1 + x 2 a 2 × 1 + x 2 ( b + 2 ) 2 1 + x 2 ( a + 1 ) 2 × ⋯ d x = π 2 × Γ ( a + 1 2 ) Γ ( b + 1 ) Γ ( b − a + 1 ) Γ ( a ) Γ ( b + 1 2 ) Γ ( b − a + 1 2 ) . {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\times {\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+2)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}\times \cdots \,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+1)}{\Gamma (a)\Gamma \left(b+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(b-a+{\frac {1}{2}}\right)}}.}

Hardy também ficou impressionado com alguns dos outros trabalhos de Ramanujan relacionados à série Infinite:

1 − 5 ( 1 2 ) 3 + 9 ( 1 × 3 2 × 4 ) 3 − 13 ( 1 × 3 × 5 2 × 4 × 6 ) 3 + ⋯ = 2 π {\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {2}{\pi }}} 1 + 9 ( 1 4 ) 4 + 17 ( 1 × 5 4 × 8 ) 4 + 25 ( 1 × 5 × 9 4 × 8 × 12 ) 4 + ⋯ = 2 2 π Γ 2 ( 3 4 ) . {\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {2{\sqrt {2}}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.}

O primeiro resultado já havia sido determinado por G. Bauer em 1859. O segundo era novo para Hardy e foi derivado de uma classe de funções chamada Série Hipergeométrica, que havia sido pesquisada pela primeira vez por Euler e Gauss. Hardy achou esses resultados "muito mais intrigantes" do que o trabalho de Gauss em integrais. Depois de ver os teoremas de Ramanujan em frações contínuas na última página dos manuscritos, Hardy disse que os teoremas "me derrotaram completamente; eu nunca tinha visto nada no mínimo como eles antes" e que eles "devem ser verdadeiros, porque, se eles fossem Não é verdade, ninguém teria a imaginação de inventá -los ". Hardy pediu a um colega, J. E. Littlewood, para dar uma olhada nos jornais. Littlewood ficou impressionado com o gênio de Ramanujan. Depois de discutir os documentos com Littlewood, Hardy concluiu que as cartas eram "certamente as mais notáveis ​​que recebi" e que Ramanujan era "um matemático da mais alta qualidade, um homem de originalidade e poder excepcional". Um colega, E. H. Neville, observou mais tarde que "nenhum [teorema] poderia ter sido estabelecido no exame matemático mais avançado do mundo".

Em 8 de fevereiro de 1913, Hardy escreveu Ramanujan uma carta que expressava interesse em seu trabalho, acrescentando que era "essencial que eu visse provas de algumas de suas afirmações". Antes de sua carta chegar a Madras durante a terceira semana de fevereiro, Hardy entrou em contato com o escritório indiano para planejar a viagem de Ramanujan a Cambridge. O secretário Arthur Davies, do Comitê Consultivo para estudantes indianos, se reuniu com Ramanujan para discutir a viagem ao exterior. De acordo com sua educação brâmane, Ramanujan se recusou a deixar seu país para "ir a uma terra estrangeira". Enquanto isso, ele enviou Hardy uma carta cheia de teoremas, escrevendo: "Encontrei um amigo em você que vê meu trabalho com simpatia".

Para complementar o endosso de Hardy, Gilbert Walker, ex -professor matemático do Trinity College, Cambridge, analisou o trabalho de Ramanujan e expressou espanto, pedindo ao jovem a passar o tempo em Cambridge. Como resultado do endosso de Walker, B. Hanumantha Rao, professora de matemática em uma faculdade de engenharia, convidou o colega Narayana Iyer de Ramanujan para uma reunião do Conselho de Estudos em Matemática para discutir "o que podemos fazer por S. Ramanujan". O conselho concordou em conceder a Ramanujan uma bolsa de pesquisa mensal de 75 rúpias pelos próximos dois anos na Universidade de Madras.

Enquanto ele estava envolvido como estudante de pesquisa, Ramanujan continuou a enviar artigos ao Journal of Indian Mathematics Society. Em um exemplo, Iyer enviou alguns dos teoremas de Ramanujan sobre o resumo da série ao Journal, acrescentando: "O teorema a seguir se deve a S. Ramanujan, o estudante de matemática da Universidade de Madras". Mais tarde, em novembro, o professor britânico Edward B. Ross, do Madras Christian College, que Ramanujan conhecera alguns anos antes, invadiu sua turma um dia com os olhos brilhando, perguntando a seus alunos: "Ramanujan conhece polonês?" O motivo era que, em um artigo, Ramanujan havia antecipado o trabalho de um matemático polonês cujo artigo acabara de chegar pelo correio do dia. Em seus documentos trimestrais, Ramanujan desenhou teoremas para tornar as integrais definidas mais facilmente solucionáveis. Trabalhando com o teorema integral de Giuliano Frullani em 1821, Ramanujan formulou generalizações que poderiam ser feitas para avaliar integrais anteriormente inflexíveis.

A correspondência de Hardy com Ramanujan azedou depois que Ramanujan se recusou a vir para a Inglaterra. Hardy pegou uma palestra em Madras, E. H. Neville, para orientar e levar Ramanujan para a Inglaterra. Neville perguntou a Ramanujan por que ele não iria para Cambridge. Ramanujan aparentemente havia aceitado a proposta; Neville disse: "Ramanujan não precisava de conversão" e "a oposição de seus pais havia sido retirada". Aparentemente, a mãe de Ramanujan teve um sonho vívido em que a deusa da família, a divindade de Namagiri, ordenou que ela "não fique mais entre o filho e o cumprimento do propósito de sua vida". Em 17 de março de 1914, Ramanujan viajou para a Inglaterra pelo navio, deixando sua esposa para ficar com seus pais na Índia. [Citação necessária]

Vida na Inglaterra

Ramanujan partiu de Madras a bordo do S.S. Nevasa em 17 de março de 1914. Quando desembarcou em Londres em 14 de abril, Neville estava esperando por ele com um carro. Quatro dias depois, Neville o levou para sua casa na Chesterton Road, em Cambridge. Ramanujan imediatamente começou seu trabalho com Littlewood e Hardy. Depois de seis semanas, Ramanujan se mudou da casa de Neville e residiu na quadra de Whewell, a cinco minutos a pé do quarto de Hardy.

Hardy e Littlewood começaram a olhar para os cadernos de Ramanujan. Hardy já havia recebido 120 teoremas de Ramanujan nas duas primeiras cartas, mas houve muito mais resultados e teoremas nos cadernos. Hardy viu que alguns estavam errados, outros já haviam sido descobertos e o resto foram novos avanços. Ramanujan deixou uma profunda impressão em Hardy e Littlewood. Littlewood comentou: "Eu posso acreditar que ele é pelo menos um jacobi", enquanto Hardy disse que "pode ​​compará -lo apenas com Euler ou Jacobi".

Ramanujan passou quase cinco anos em Cambridge colaborando com Hardy e Littlewood e publicou parte de suas descobertas lá. Hardy e Ramanujan tinham personalidades altamente contrastantes. Sua colaboração foi um confronto de diferentes culturas, crenças e estilos de trabalho. Nas décadas anteriores, as fundações da matemática haviam sido questionadas e a necessidade de provas matematicamente rigorosas reconhecidas. Hardy era ateu e um apóstolo da prova e rigor matemático, enquanto Ramanujan era um homem profundamente religioso que se baseava muito fortemente em sua intuição e idéias. Hardy fez o possível para preencher as lacunas na educação de Ramanujan e orientá -lo na necessidade de provas formais para apoiar seus resultados, sem impedir sua inspiração - um conflito que não achou fácil.

Ramanujan recebeu um Bacharelado em Artes por Pesquisa (o antecessor do doutorado) em março de 1916 por seu trabalho em números altamente compostos, seções da primeira parte das quais foram publicadas no ano anterior nos procedimentos da Sociedade Matemática de Londres . O artigo tinha mais de 50 páginas e comprova várias propriedades de tais números. Hardy não gostava dessa área de tópico, mas observou que, embora se envolvesse com o que ele chamou de 'remanso da matemática', nele Ramanujan demonstrou 'domínio extraordinário sobre a álgebra de desigualdades'.

Em 6 de dezembro de 1917, Ramanujan foi eleito para a Sociedade Matemática de Londres. Em 2 de maio de 1918, ele foi eleito membro da Royal Society, o segundo indiano admitido, depois que o Ardaseer Cursetjee em 1841. Aos 31 anos, Ramanujan foi um dos bolsistas mais jovens da história da Royal Society. Ele foi eleito "por sua investigação em funções elípticas e na teoria dos números". Em 13 de outubro de 1918, ele foi o primeiro indiano a ser eleito membro do Trinity College, Cambridge.

Doença e morte

Ramanujan foi atormentado por problemas de saúde ao longo de sua vida. Sua saúde piorou na Inglaterra; Possivelmente, ele também era menos resistente devido à dificuldade de manter os rígidos requisitos alimentares de sua religião lá e por causa do racionamento em tempo de guerra em 1914-18. Ele foi diagnosticado com tuberculose e uma grave deficiência de vitamina e confinado a um sanatório. Em 1919, ele retornou a Kumbakonam, Presidência de Madras e, em 1920, morreu aos 32 anos. Após sua morte, seu irmão Tirunarayanan compilou as notas manuscritas restantes de Ramanujan, consistindo em fórmulas em módulos singulares, séries hipergeométricas e frações contínuas.

Viúva de Ramanujan, Smt. Janaki Ammal, mudou -se para Bombaim. Em 1931, ela voltou a Madras e se estabeleceu em Triplicane, onde se apoiou em uma pensão da Universidade de Madras e renda de alfaiataria. Em 1950, ela adotou um filho, W. Narayanan, que acabou se tornando oficial do Banco Estadual da Índia e criou uma família. Nos seus últimos anos, ela recebeu uma pensão vitalícia do ex -empregador de Ramanujan, do Madras Port Trust, e das pensões de, entre outros, da Academia Nacional de Ciências Indígenas e dos governos estaduais de Tamil Nadu, Andhra Pradesh e Bengala Ocidental. Ela continuou a apreciar a memória de Ramanujan e atuou nos esforços para aumentar seu reconhecimento público; Os matemáticos proeminentes, incluindo George Andrews, Bruce C. Berndt e Béla Bollobás, fizeram questão de visitá -la enquanto estava na Índia. Ela morreu em sua residência triplicana em 1994.

Uma análise de 1994 dos registros médicos e sintomas de Ramanujan pelo Dr. D. A. B. Young concluiu que seus sintomas médicos - incluindo suas recidivas, febres e condições hepáticas passadas - estavam muito mais próximas daquelas resultantes da amebíase hepática, uma doença em seguida em madras, do que a tuberculose . Ele teve dois episódios de disenteria antes de deixar a Índia. Quando não é tratado adequadamente, a disenteria amebica pode ficar inativa por anos e levar à amebíase hepática, cujo diagnóstico não estava bem estabelecido. Na época, se diagnosticado adequadamente, a amebíase era uma doença tratável e muitas vezes curável; Os soldados britânicos que o contrataram durante a Primeira Guerra Mundial estavam sendo curados com sucesso de amebíase na época em que Ramanujan deixou a Inglaterra.

Personalidade e vida espiritual

Ramanujan foi descrito como uma pessoa de uma disposição um tanto tímida e silenciosa, um homem digno de maneiras agradáveis. Ele viveu uma vida simples em Cambridge. Os primeiros biógrafos indianos de Ramanujan o descrevem como um hindu rigorosamente ortodoxo. Ele creditou sua perspicácia à deusa da sua família, Namagiri Thayar (deusa Mahalakshmi) de Namakkal. Ele procurou inspiração para ela em seu trabalho e disse que sonhava com gotas de sangue que simbolizavam seu consorte, Narasimha. Mais tarde, ele teve visões de pergaminhos de conteúdo matemático complexo se desenrolando diante de seus olhos. Ele costumava dizer: "Uma equação para mim não tem significado, a menos que expresse um pensamento de Deus".

Hardy cita Ramanujan como observando que todas as religiões pareciam igualmente fiéis a ele. Hardy argumentou ainda que a crença religiosa de Ramanujan havia sido romantizada por ocidentais e exagerada - em referência à sua crença, não à prática - por biógrafos indianos. Ao mesmo tempo, ele comentou sobre o vegetarianismo estrito de Ramanujan.

Da mesma forma, em uma entrevista à Frontline, Berndt disse: "Muitas pessoas promulgam falsamente poderes místicos ao pensamento matemático de Ramanujan. Não é verdade. Ele registrou meticulosamente todos os resultados em seus três cadernos", especulando ainda mais que Ramanujan trabalhou resultados intermediários em Slate Slate que ele não podia pagar o jornal para gravar mais permanentemente.

Realizações matemáticas

Em matemática, há uma distinção entre insight e formulação ou trabalho em uma prova. Ramanujan propôs uma abundância de fórmulas que poderiam ser investigadas mais tarde em profundidade. G. H. Hardy disse que as descobertas de Ramanujan são extraordinariamente ricas e que muitas vezes há mais para eles do que inicialmente encontra os olhos. Como subproduto de seu trabalho, novas direções de pesquisa foram abertas. Exemplos das mais intrigantes dessas fórmulas incluem séries infinitas para π, uma das quais é dada abaixo:

1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}.}

Este resultado é baseado no discriminante fundamental negativo d = −4 × 58 = −232 com o número da classe H (d) = 2. Além disso, 26390 = 5 × 7 × 13 × 58 e 16 × 9801 = 3962, que está relacionado a o fato de que

e π 58 = 396 4 − 104.000000177 … . {\textstyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104.000000177\dots .}

Isso pode ser comparado aos números Heegner, que possuem a classe número 1 e produzem fórmulas semelhantes.

A série de Ramanujan para π converge extraordinariamente rapidamente e forma a base de alguns dos algoritmos mais rápidos atualmente usados ​​para calcular π. Truncar a soma ao primeiro termo também fornece a aproximação 9801√2/4412 para π, o que está correto para seis casas decimais; Truncá -lo para os dois primeiros termos fornece um valor correto a 14 casas decimais. Veja também a série mais geral Ramanujan -Sato.

Uma das capacidades notáveis ​​de Ramanujan foi a rápida solução de problemas, ilustrada pela seguinte anedota sobre um incidente em que P. C. Mahalanobis representava um problema:

Imagine que você está em uma rua com casas marcadas 1 a n. Há uma casa intermediária (x) de modo que a soma dos números da casa à esquerda é igual à soma dos números da casa à sua direita. Se n é entre 50 e 500, o que são n e x? ' Este é um problema bivariado com várias soluções. Ramanujan pensou sobre isso e deu a resposta com uma reviravolta: ele deu uma fração contínua. A parte incomum era que era a solução para toda a classe de problemas. Mahalanobis ficou surpreso e perguntou como ele fez isso. 'É simples. No minuto em que ouvi o problema, sabia que a resposta era uma fração contínua. Qual fração continuada, eu me perguntei. Então a resposta veio à minha mente ', respondeu Ramanujan. "

Sua intuição também o levou a derivar algumas identidades anteriormente desconhecidas, como

( 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ ( n θ ) cosh ⁡ ( n π ) ) − 2 + ( 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ cosh ⁡ ( n θ ) cosh ⁡ ( n π ) ) − 2 = 2 Γ 4 ( 3 4 ) π = 8 π 3 Γ 4 ( 1 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}\left({\frac {1}{4}}\right)}}\end{aligned}}}

Para todos θ tal que | ℜ (θ) |

Em 1918, Hardy e Ramanujan estudaram a função de partição P (n) extensivamente. Eles deram uma série assintótica não convergente que permite a computação exata do número de partições de um número inteiro. Em 1937, Hans Rademacher refinou sua fórmula para encontrar uma solução exata da série Convergent para esse problema. O trabalho de Ramanujan e Hardy nessa área deu origem a um novo método poderoso para encontrar fórmulas assintóticas chamadas Método do Círculo.

No último ano de sua vida, Ramanujan descobriu funções simuladas teta. Por muitos anos, essas funções eram um mistério, mas agora são conhecidas por serem as partes holomórficas das formas de maassgem fracas harmônicas.

A conjectura de Ramanujan

Embora existam inúmeras declarações que poderiam ter suportado o nome Ramanujan Conjecture, uma foi altamente influente no trabalho posterior. Em particular, a conexão dessa conjectura com conjecturas de André Weil em geometria algébrica abriu novas áreas de pesquisa. Que a conjectura de Ramanujan é uma afirmação sobre o tamanho da função tau, que tem como geração a função da forma modular discriminante δ (q), uma forma típica de cusp na teoria das formas modulares. Finalmente foi comprovado em 1973, como conseqüência da prova de Pierre Deligne das conjecturas de Weil. A etapa de redução envolvida é complicada. Deligne ganhou uma medalha de campos em 1978 por esse trabalho.

Em seu artigo "Sobre certas funções aritméticas", Ramanujan definiu a chamada função delta, cujos coeficientes são chamados τ (n) (a função Ramanujan tau). Ele provou muitas congruências por esses números, como τ (p) ≡ 1 + p11 mod 691 para os primos p. Essa congruência (e outros como Ramanujan provou) inspirou Jean-Pierre Serre (medalhista de 1954 Fields) a conjecturar que existe uma teoria das representações de Galois que "explica" essas congruências e geralmente todas as formas modulares. Δ (z) é o primeiro exemplo de uma forma modular a ser estudada dessa maneira. Deligne (em seus campos, vencedor do trabalho) provou a conjectura de Serre. A prova do último teorema de Fermat prossegue, reinterpretando as curvas elípticas e as formas modulares em termos dessas representações de Galois. Sem essa teoria, não haveria prova do último teorema de Fermat.

Cadernos de Ramanujan

Ainda em Madras, Ramanujan registrou a maior parte de seus resultados em quatro cadernos de papel frouxo. Eles foram escritos principalmente sem derivações. Essa é provavelmente a origem da má compreensão de que Ramanujan não conseguiu provar seus resultados e simplesmente pensou diretamente no resultado final. O matemático Bruce C. Berndt, em sua revisão desses notebooks e do trabalho de Ramanujan, diz que Ramanujan certamente foi capaz de provar a maioria de seus resultados, mas optou por não registrar as provas em suas anotações.

Isso pode ter sido por vários motivos. Como o papel era muito caro, Ramanujan fez a maior parte de seu trabalho e talvez suas provas em Slate, após o que transferiu os resultados finais para o papel. Na época, as ardósias eram comumente usadas por estudantes de matemática na presidência de Madras. Ele também era bem provável que tenha sido influenciado pelo estilo do livro de G. S. Carr, que declarou resultados sem provas. Também é possível que Ramanujan considerasse seu trabalho apenas para seu interesse pessoal e, portanto, registrar apenas os resultados.

O primeiro caderno possui 351 páginas com 16 capítulos um tanto organizados e algum material desorganizado. O segundo tem 256 páginas em 21 capítulos e 100 páginas desorganizadas, e as terceiras 33 páginas desorganizadas. Os resultados em seus cadernos inspiraram vários artigos por matemáticos posteriores tentando provar o que ele havia encontrado. O próprio Hardy escreveu artigos explorando o material do trabalho de Ramanujan, assim como G. N. Watson, B. M. Wilson e Bruce Berndt.

Em 1976, George Andrews redescobriu um quarto caderno com 87 páginas desorganizadas, o chamado "caderno perdido".

Hardy - Ramanujan Número 1729

O número 1729 é conhecido como o número Hardy -Ramanujan após uma visita famosa de Hardy para ver Ramanujan em um hospital. Nas palavras de Hardy:

Lembro -me de uma vez vê -lo quando ele estava doente em Putney. Eu tinha montado no táxi número 1729 e observei que o número me parecia mais chato e que eu esperava que não fosse um presságio desfavorável. "Não", ele respondeu, "é um número muito interessante; é o menor número expresso como a soma de dois cubos de duas maneiras diferentes".

Imediatamente antes dessa anedota, Hardy citou Littlewood dizendo: "Todo número inteiro positivo era um dos amigos pessoais de [Ramanujan]".

As duas maneiras diferentes são:

1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 . {\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}.}

As generalizações dessa idéia criaram a noção de "números de táxi".

Visualizações dos matemáticos sobre Ramanujan

Em seu obituário de Ramanujan, escrito para a natureza em 1920, Hardy observou que o trabalho de Ramanujan envolvia principalmente campos menos conhecidos mesmo entre outros matemáticos puros, concluindo:

Sua visão sobre as fórmulas foi incrível e, além de qualquer coisa que eu já encontrei em qualquer matemático europeu. Talvez seja inútil especular sobre sua história se ele tivesse sido apresentada a idéias e métodos modernos aos dezesseis anos, em vez de aos vinte e seis. Não é extravagante supor que ele possa ter se tornado o maior matemático de seu tempo. O que ele realmente fez é maravilhoso o suficiente ... Quando as pesquisas que seu trabalho sugeriram ter sido concluído, provavelmente parecerá muito mais maravilhoso do que hoje.

Hardy disse ainda mais:

Ele combinou um poder de generalização, um sentimento de forma e uma capacidade de modificação rápida de suas hipóteses, que muitas vezes eram realmente surpreendentes e o faziam, em seu próprio campo peculiar, sem rival em seus dias. As limitações de seu conhecimento foram tão surpreendentes quanto sua profundidade. Aqui estava um homem que podia resolver equações e teoremas modulares ... para ordens inéditas, cujo domínio das frações contínuas estava ... além da de qualquer matemático do mundo, que havia encontrado para si mesmo a equação funcional da função Zeta e os termos dominantes de muitos dos problemas mais famosos da teoria analítica dos números; E, no entanto, ele nunca tinha ouvido falar de uma função duplamente periódica ou do teorema de Cauchy, e de fato, mas a idéia mais vaga de que função de uma variável complexa era ... "

Quando perguntado sobre os métodos que Ramanujan empregou para chegar a suas soluções, Hardy disse que eles foram "alcançados por um processo de argumento misturado, intuição e indução, da qual ele era inteiramente incapaz de dar qualquer conta coerente". Ele também disse que "nunca conheceu o seu igual e pode compará -lo apenas com Euler ou Jacobi".

K. Srinivasa Rao disse: "Quanto ao seu lugar no mundo da matemática, citamos Bruce C. Berndt: 'Paul Erdős passou para nós, classificações pessoais de Hardy de matemáticos. Suponha que classifiquemos os matemáticos com base em talentos puros Em uma escala de 0 a 100. Hardy deu a si mesmo uma pontuação de 25, J. E. Littlewood 30, David Hilbert 80 e Ramanujan 100. '"Durante uma palestra de maio de 2011 no IIT Madras, Berndt disse que nos últimos 40 anos, como quase todos Das conjecturas de Ramanujan foram comprovadas, houve uma maior apreciação do trabalho e do brilho de Ramanujan, e que o trabalho de Ramanujan agora estava permeando muitas áreas de matemática e física modernas.

Reconhecimento póstumo

No ano seguinte à sua morte, a natureza listou Ramanujan, entre outros cientistas e matemáticos ilustres em um "calendário de pioneiros científicos" que haviam alcançado eminência. O estado natal de Ramanujan, de Tamil Nadu, comemora 22 de dezembro (aniversário de Ramanujan) como 'Dia do Estado'. Os selos que exibem Ramanujan foram emitidos pelo governo da Índia em 1962, 2011, 2012 e 2016.

Desde o ano do centenário de Ramanujan, seu aniversário, 22 de dezembro, foi comemorado anualmente como dia de Ramanujan pela faculdade de artes do governo, Kumbakonam, onde estudou e no IIT Madras em Chennai. O Centro Internacional de Física Teórica (ICTP) criou um prêmio em nome de Ramanujan para jovens matemáticos de países em desenvolvimento em cooperação com a União Matemática Internacional, que nomeia membros do Comitê de Prêmios. A Universidade de Sastra, uma universidade particular com sede em Tamil Nadu, instituiu o Prêmio Sastra Ramanujan de US $ 10.000 a serem concedidos anualmente a um matemático que não exceda 32 anos por contribuições pendentes em uma área de matemática influenciada por Ramanujan.

Com base nas recomendações de um comitê nomeado pela Comissão de Graças da Universidade (UGC), Governo da Índia, o Srinivasa Ramanujan Center, criado por Sastra, foi declarado um centro fora do campus sob o âmbito da Universidade de Sastra. A House of Ramanujan Mathematics, um museu da vida e trabalho de Ramanujan, também está neste campus. Sastra comprou e renovou a casa onde Ramanujan morava em Kumabakonam.

Em 2011, no 125º aniversário de seu nascimento, o governo indiano declarou que 22 de dezembro será comemorado todos os anos como o Dia Nacional da Matemática. Então, o primeiro -ministro indiano Manmohan Singh também declarou que 2012 seria comemorado como o ano nacional de matemática.

Ramanujan IT City é uma zona econômica especial de tecnologia da informação (SEZ) em Chennai, construída em 2011. Situada ao lado do Tidel Park, inclui 10 acres (10 ha) com duas zonas, com uma área total de 5,7 milhões 530.000 m2 de metros quadrados, incluindo 420.000 m2 de 420.000 m2 de espaço para escritórios.

Na cultura popular

The Man Who Loved Numbers is a 1988 PBS NOVA documentary about Ramanujan (S15, E9).The Man Who Knew Infinity is a 2015 film based on Kanigel's book. British actor Dev Patel portrays Ramanujan.Ramanujan, an Indo-British collaboration film chronicling Ramanujan's life, was released in 2014 by the independent film company Camphor Cinema. The cast and crew include director Gnana Rajasekaran, cinematographer Sunny Joseph and editor B. Lenin. Indian and English stars Abhinay Vaddi, Suhasini Maniratnam, Bhama, Kevin McGowan and Michael Lieber star in pivotal roles.Nandan Kudhyadi directed the Indian documentary films The Genius of Srinivasa Ramanujan (2013) and Srinivasa Ramanujan: The Mathematician and His Legacy (2016) about the mathematician.Ramanujan (The Man Who Reshaped 20th Century Mathematics), an Indian docudrama film directed by Akashdeep released in 2018.M. N. Krish's thriller novel The Steradian Trail weaves Ramanujan and his accidental discovery into its plot connecting religion, mathematics, finance and economics.Partition, a play by Ira Hauptman about Hardy and Ramanujan, was first performed in 2013.The play First Class Man by Alter Ego Productions was based on David Freeman's First Class Man. The play centres around Ramanujan and his complex and dysfunctional relationship with Hardy. On 16 October 2011 it was announced that Roger Spottiswoode, best known for his James Bond film Tomorrow Never Dies, is working on the film version, starring Siddharth.A Disappearing Number is a British stage production by the company Complicite that explores the relationship between Hardy and Ramanujan.David Leavitt's novel The Indian Clerk explores the events following Ramanujan's letter to Hardy.Google honoured Ramanujan on his 125th birth anniversary by replacing its logo with a doodle on its home page.Ramanujan was mentioned in the 1997 film Good Will Hunting, in a scene where professor Gerald Lambeau (Stellan Skarsgård) explains to Sean Maguire (Robin Williams) the genius of Will Hunting (Matt Damon) by comparing him to Ramanujan.

Outras obras da matemática de Ramanujan

George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Springer, 2005, ISBN 0-387-25529-X)George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part II, (Springer, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8)George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part III, (Springer, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0)George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part IV, (Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2)George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part V, (Springer, 2018, ISBN 978-3-319-77832-7)M. P. Chaudhary, A simple solution of some integrals given by Srinivasa Ramanujan, (Resonance: J. Sci. Education – publication of Indian Academy of Science, 2008)M.P. Chaudhary, Mock theta functions to mock theta conjectures, SCIENTIA, Series A : Math. Sci., (22)(2012) 33–46.M.P. Chaudhary, On modular relations for the Roger-Ramanujan type identities, Pacific J. Appl. Math., 7(3)(2016) 177–184.

Publicações selecionadas sobre Ramanujan e seu trabalho

Publicações selecionadas sobre obras de Ramanujan

Veja também