Teorema de Clairaut (gravidade)

História

Embora se saiba desde a antiguidade que a Terra era esférica, no século XVII, as evidências estavam se acumulando de que não era uma esfera perfeita. Em 1672, Jean Richer encontrou a primeira evidência de que a gravidade não era constante sobre a terra (como seria se a terra fosse uma esfera); Ele levou um relógio de pêndulo para Cayenne, na Guiana Francesa, e descobriu que perdeu 2+1⁄2 minutos por dia em comparação com sua taxa em Paris. Isso indicou que a aceleração da gravidade era menor na Caiena do que em Paris. Os gravímetros de pêndulo começaram a ser tomados em viagens a partes remotas do mundo, e foi lentamente descoberto que a gravidade aumenta suavemente com o aumento da latitude, a aceleração gravitacional sendo cerca de 0,5% maior nos pólos do que no equador.

O físico britânico Isaac Newton explicou isso em seu princípio Mathematica (1687), no qual ele descreveu sua teoria e cálculos sobre a forma da terra. Newton teorizou corretamente que a Terra não era precisamente uma esfera, mas tinha uma forma elipsoidal oblata, ligeiramente achatada nos pólos devido à força centrífuga de sua rotação. Como a superfície da terra está mais próxima do seu centro nos pólos do que no equador, a gravidade é mais forte lá. Usando cálculos geométricos, ele deu um argumento concreto sobre a forma hipotética elipsóide da terra.

O objetivo da Principia não era fornecer respostas exatas para fenômenos naturais, mas para teorizar soluções em potencial para esses fatores não resolvidos na ciência. Newton pressionou para os cientistas olharem mais para as variáveis ​​inexplicáveis. Dois pesquisadores proeminentes que ele inspirou foram Alexis Clairaut e Pierre Louis Maupertuis. Ambos procuraram provar a validade da teoria de Newton sobre a forma da terra. Para fazer isso, eles fizeram uma expedição à Lapra, na tentativa de medir com precisão o arco do meridiano. A partir de tais medições, eles poderiam calcular a excentricidade da Terra, seu grau de afastamento de uma esfera perfeita. Clairaut confirmou que a teoria de Newton de que a Terra era Ellipsoidal estava correta, mas seus cálculos estavam errados e escreveu uma carta à Royal Society of London com suas descobertas. A Sociedade publicou um artigo em transações filosóficas no ano seguinte em 1737, que revelou sua descoberta. Clairaut mostrou como as equações de Newton estavam incorretas e não provaram uma forma elipsóide para a Terra. No entanto, ele corrigiu os problemas com a teoria, de que, na verdade, provaria a teoria de Newton correta. Clairaut acreditava que Newton tinha razões para escolher a forma que ele fez, mas não o apoiou em princípio. O artigo de Clairaut não forneceu uma equação válida para fazer backup de seu argumento também. Isso criou muita controvérsia na comunidade científica.

Não foi até Clairaut escrever Théorie de la Figura de la Terre em 1743 que uma resposta adequada foi fornecida. Nele, ele promulgou o que é mais formalmente conhecido hoje como o teorema de Clairaut.

Fórmula

A fórmula de Clairaut para a aceleração devido à gravidade G na superfície de um esferóide em latitude φ, foi:

where G e {\displaystyle G_{e}} is the value of the acceleration of gravity at the equator, m the ratio of the centrifugal force to gravity at the equator, and f the flattening of a meridian section of the earth, defined as:(where a = semimajor axis, b = semiminor axis).

Clairaut derivou a fórmula sob a suposição de que o corpo era composto por camadas esferoidais coaxiais concêntricas de densidade constante. Este trabalho foi posteriormente perseguido por Laplace, que relaxou a suposição inicial de que as superfícies de igual densidade eram esferóides. Stokes mostrou em 1849 que o teorema aplicou a qualquer lei da densidade, desde que a superfície externa seja uma esferóide de equilíbrio. Uma história do assunto e equações mais detalhadas para G podem ser encontradas em Khan.

A expressão acima para G foi suplantada pela equação da Somigliana (depois de Carlo Somigliana).

Geodésia

A forma esferoidal da terra é o resultado da interação entre a gravidade e a força centrífuga causada pela rotação da Terra em torno de seu eixo. Em seu princípio, Newton propôs a forma de equilíbrio de uma terra rotativa homogênea era um elipsóide rotacional com um achatamento f dado por 1/230. Como resultado, a gravidade aumenta do equador para os pólos. Ao aplicar o teorema de Clairaut, Laplace encontrou a partir de 15 valores de gravidade que f = 1/330. Uma estimativa moderna é 1/298.25642. Veja a figura da Terra para obter mais detalhes.

Para um relato detalhado da construção do modelo de referência da Terra da Geodesia, consulte Chatfield.