Yangian
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Descrição
Para qualquer álgebra A Lie A Álgebra A, Drinfeld, definiu uma álgebra hopf de Hopf Yangiana de A. Esta álgebra hopf é uma deformação da álgebra usenvolvente universal U (a [z]) da álgebra de lie de loops polinomiais de um dado por geradores e relações explícitas. As relações podem ser codificadas por identidades envolvendo uma matriz R racional. Substituindo-o por uma matriz R trigonométrica, chega a grupos quânticos afins, definidos no mesmo artigo de Drinfeld.
No caso da álgebra linear geral da Álgebra Gln, o yangiano admite uma descrição mais simples em termos de uma única relação ternária (ou RTT) nos geradores da matriz devido a faddeev e co -autores. O yangiano y (gln) é definido como a álgebra gerada por elementos t i j (p) {\ displaystyle t_ {ij}^{(p)}} com 1 ≤ i, j ≤ n e p ≥ 0, sujeitos às relações
[ t i j ( p + 1 ) , t k l ( q ) ] − [ t i j ( p ) , t k l ( q + 1 ) ] = − ( t k j ( p ) t i l ( q ) − t k j ( q ) t i l ( p ) ) . {\displaystyle [t_{ij}^{(p+1)},t_{kl}^{(q)}]-[t_{ij}^{(p)},t_{kl}^{(q+1)}]=-(t_{kj}^{(p)}t_{il}^{(q)}-t_{kj}^{(q)}t_{il}^{(p)}).}
Definindo t i j (-1) = Δ i j {\ displaystyle t_ {ij}^{(-1)} = \ delta _ {ij}}, configuração
T ( z ) = ∑ p ≥ − 1 t i j ( p ) z − p + 1 {\displaystyle T(z)=\sum _{p\geq -1}t_{ij}^{(p)}z^{-p+1}}
e introduzindo a matriz r (z) = i + z-1 p em cn ⊗ {\ displaystyle \ otimes} cn, onde p é o operador que permite os fatores tensores, as relações acima podem ser escritas de forma mais simplesmente como a relação ternária :
R 12 ( z − w ) T 1 ( z ) T 2 ( w ) = T 2 ( w ) T 1 ( z ) R 12 ( z − w ) . {\displaystyle \displaystyle {R_{12}(z-w)T_{1}(z)T_{2}(w)=T_{2}(w)T_{1}(z)R_{12}(z-w).}}
A yangiana se torna uma álgebra hopf com comultiplicação Δ, coulit ε e antipodo dado por
( Δ ⊗ i d ) T ( z ) = T 12 ( z ) T 13 ( z ) , ( ε ⊗ i d ) T ( z ) = I , ( s ⊗ i d ) T ( z ) = T ( z ) − 1 . {\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} )T(z)=T_{12}(z)T_{13}(z),\,\,(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )T(z)=I,\,\,(s\otimes \mathrm {id} )T(z)=T(z)^{-1}.}
Em valores especiais do parâmetro espectral (z-w) {\ displayStyle (z-w)}, a matriz R degenera para uma projeção de classificação uma. Isso pode ser usado para definir o determinante quântico de t (z) {\ displayStyle t (z)}, que gera o centro do yangiano.
O Yangian Y-(GL2N) distorcido, introduzido por G. I. Olshansky, é o co-ideal gerado pelos coeficientes de
S ( z ) = T ( z ) σ T ( − z ) , {\displaystyle \displaystyle {S(z)=T(z)\sigma T(-z),}}
onde σ é a involução do GL2N dada por
σ ( E i j ) = ( − 1 ) i + j E 2 N − j + 1 , 2 N − i + 1 . {\displaystyle \displaystyle {\sigma (E_{ij})=(-1)^{i+j}E_{2N-j+1,2N-i+1}.}}
O determinante quântico é o centro de Yangian.
Formulários
Teoria da representação clássica
G.I. Olshansky e I.cherednik descobriram que o yangiano de Gln está intimamente relacionado às propriedades ramificadas das representações finitas-dimensionais irredutíveis de álgebras lineares gerais. Em particular, a construção clássica de Gelfand -Testlin de uma base no espaço de tal representação tem uma interpretação natural na linguagem dos yangianos, estudada por M.Nazarov e V.Tarasov. Olshansky, Nazarov e Molev descobriram mais tarde uma generalização dessa teoria para outras álgebras clássicas da Lie, baseadas no yangiano distorcido.
Física
O yangiano aparece como um grupo de simetria em diferentes modelos em física. [Por quê?]
Yangian aparece como um grupo de simetria de modelos unidimensionais exatamente solucionáveis, como cadeias de spin, modelo de hubbard e em modelos de teoria de campo quântico relativístico unidimensional.
A ocorrência mais famosa está na teoria planar supersimétrica de Yang -Mils em quatro dimensões, onde as estruturas yangianas aparecem no nível de simetrias dos operadores e a amplitude de dispersão, como foi descoberto por Drummond, Henn e Plefka.
Teoria da representação
As representações finitas-dimensionais irredutíveis dos yangianses foram parametrizadas por Drinfeld de maneira semelhante à teoria mais alta do peso na teoria da representação das álgebras de semisimple. O papel do peso mais alto é desempenhado por um conjunto finito de polinômios drinfeld. Drinfeld também descobriu uma generalização da dualidade clássica de Schur -Weyl entre representações de grupos lineares e simétricos gerais que envolvem o yangiano do SLN e a algebra hecke afinada degenerada (álgebra hecke classificada do tipo A, na terminologia de George Lusztig).
Representações de yangians foram extensivamente estudadas, mas a teoria ainda está sob desenvolvimento ativo.